LC202 année 2005/2006 Université Pierre et Maris Curie - Paris VI

                                                     
TE n° 6: rotation d'une molécule diatomique
modèle du rotateur rigide

1  Cas général

Le rotateur rigide, constitué de deux masses ponctuelles m1 et m2 situées respectivement à des distances fixes r1 et r2 de leur centre de masse, est un bon modèle pour la représentation du mouvement de rotation d'une molécule diatomique. Dans le référentiel du centre de masse, ce système à deux corps se réduit à un système à un seul corps de masse réduite m définie comme [1/(m)] = [1/(m1)] + [1/(m2)]. Le mouvement de rotation de la particule fictive de masse m à une distance R d'un point fixe est alors caractérisé par son moment d'inertie I qui s'écrit sous la forme I=mR2. En l'absence de toute force extérieure, l'énergie de la molécule est purement cinétique.
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  1. Déterminer l'expression de l'énergie cinétique d'un rotateur classique en fonction du moment cinétique ®L et du moment d'inertie I.
  2. Etablir l'expression de l'opérateur hamiltonien [(H)\tilde], puis écrire l'équation de Schrödinger relative à ce système.
  3. Rappeler les fonctions propres et les valeurs propres de l'opérateur [(L)\tilde]2.
  4. En déduire l'expression:
    1. des fonctions propres de l'opérateur hamiltonien [(H)\tilde].
    2. de l'énergie EJ du rotateur rigide. Indiquer la dégénérescence gJ de chaque niveau de rotation.
  5. Une molécule diatomique, présentant un moment dipolaire m® ¹ 0, peut passer d'un niveau rotationnel J à un niveau rotationnel J' en absorbant/émettant un photon de fréquence n telle que hn = |EJ¢ -EJ|
    Nous admettrons que le modèle du rotateur rigide n'autorise que des transitions entre niveaux rotationnels adjacents, de sorte que nous avons la condition
    J' = J ± 1
     appelée règle de sélection.
    1. Exprimer, en fonction de J, l'écart énergétique entre deux niveaux rotationnels adjacents.
    2. En déduire l'expression:
      1. de la fréquence n du photon mis en jeu lors de la transition correspondante. On utilisera la constante rotationnelle B (exprimée en Hz) et définie comme B = [h/(8p2I)].
      2. du nombre d'onde s correspondant. On utilisera la constante rotationnelle [(B)\tilde] (exprimée en cm-1) et définie comme [(B)\tilde] = [(B)/(c)].
    3. On souhaite étudier la correspondance entre le diagramme des niveaux rotationnels J et le spectre d'absorption correspondant.
      1. Représenter sur un diagramme les quatres premiers niveaux d'énergie du rotateur rigide, ainsi que les transitions d'absorption permises.
      2. Déterminer la position des raies correspondantes dans le spectre d'absorption.

2  Application: molécule HCl

  1. Le spectre de rotation de la molécule 1H35Cl est constitué d'une série de raies équidistantes de 20,87.cm-1.
    1. Calculer la fréquence et la longueur d'onde du photon absorbé lors de la transition J=1®J=2. Préciser le domaine spectral.
    2. Calculer la longueur de la liaison 1H-35Cl.
    3. Lors de l'étude du spectre de vibration de cette molécule, nous avons montré que l'écart entre deux niveaux de vibration adjacents est de l'ordre de 5,7.10-20 J (cf TE n°5). A partir du calcul de l'écart entre les premiers niveaux rotationnels, commenter la position relative des niveaux vibrationnels et rotationnels.
    1. Connaissant la constante rotationnelle B de la la molécule 1H35Cl, calculer la valeur de cette même constante dans le cas de la la molécule 1H37Cl.
    2. En déduire l'allure générale du spectre de rotation d'un mélange {1H35Cl + 1H37Cl}.
,5cm
Données:
Constante de masse atomique        1 u = 1,661.10-27 kg
Constante de Planck                      h = 6,626.10-34 J.s
Vitesse de la lumière dans le vide      c = 2,998.108 m.s-1
Harmoniques sphériques YJ,MJ(q,j)
Y0, 0(q, j) = [1/(Ö{4p})]
J MJ YJ,MJ(q, j) J MJ YJ, MJ(q, j)





-2 Y2, -2(q, j) = Ö{[15/(32p)]} sin2q exp(-2ij)

-1 Y1, -1(q, j) = Ö{[3/(8p)]} sinq exp(-ij)
-1 Y2, -1(q, j) = Ö{[15/(8p)]} sinq cosq exp(-ij)
1 0 Y1, 0(q,j) = Ö{[3/(4p)]} cosq 2 0 Y2, 0(q, j) = Ö{[5/(16p)]} (3cos2q - 1)

+1 Y1, 1(q, j) = Ö{[3/(8p)]} sinq exp(+ij)
+1 Y2, 1(q, j) = Ö{[15/(8p)]} sinq cosq exp(+ij)




+2 Y2, 2(q, j) = Ö{[15/(32p)]} sin2q exp(+2ij)



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On 23 Aug 2006, 11:46.