Critère de Cauchy pour les intégrales impropres

 

On considère une fonction f, localement intégrable sur un intervalle , avec ou . Nous avons vu que le problème de la convergence de l’intégrale revient au problème de l’existence de la limite de la fonction F définie par quand x tend vers . On se ramène à un problème de limite de suites, en utilisant le théorème qui lie l’existence de la limite d’une fonction en un point à la convergence de toutes les suites images des suites convergentes de limite .

Cette convergence est montrée par le critère de Cauchy, d’où le nom de critère de Cauchy, par lequel on désigne le théorème suivant.

Théorème. Soit f une fonction localement intégrable sur un intervalle , avec ou . Pour que l’intégrale soit convergente, il faut et il suffit que, pour toute suite de limite , la suite définie par soit convergente. On a alors :

.

On en déduit le critère de Cauchy pour les intégrales impropres.

Théorème. Soit f une fonction réelle, localement intégrable sur un intervalle , avec ou . Pour que l’intégrale soit convergente, il faut et il suffit que, pour tout, il existe X() tel que, quels que soient les réels et vérifiant les inégalités , on ait .

Soit encore en langage formalisé,

.

Preuve

Idée de la démonstration. C’est pour la démonstration de la condition suffisante qu’on utilise le théorème précédent. Il s’agit d’un critère de Cauchy, c’est-à-dire qui utilise la convergence des suites de Cauchy, donc la propriété de R d’être complet. Pour la condition nécessaire, il s’agit d’une application directe de la définition de la limite.

Détail de la preuve