Mécanique - Chapitre G
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 G.1. Force et Champ de gravitation
Loi d'attraction universelle
Champ d'une masse ponctuelle
Champ d'une distribution de masse

Le mouvement des planètes a constitué depuis longtemps un sujet d'étude. Au 17ème siècle, les mesures avaient atteint un grand degré de précision et les lois régissant ce mouvement avaient été énoncées par KEPLER (1571-1630) :

NEWTON parvint à démontrer (1687) ces lois de mouvement à partir d'une loi unique d'interaction entre éléments matériels en tout point de l'espace :

l'attraction universelle.

  G.1.1. Loi d'attraction universelle

Si l'on considère deux masses ponctuelles m et m' aux points M et M', le vecteur est notéet on choisit un vecteur unitaire sur tel que:

La loi de Newton postule que la force d'interaction à distance exercée par la masse m sur m' est attractive, dépend de la distance entre les points et des masses des points matériels.

Elle décroît comme l'inverse du carré de la distance.

G s'appelle la constante de gravitation universelle ; cette constante a une dimension. Dans le système S I, elle vaut:

G = 6, 670 . 10-11 N.m2 kg

Cette loi de l'attraction universelle obéit au principe de l'action et de la réaction : la force exercée par m' sur m est.


Remarque:
Les masses étant positives, la force de gravitation est toujours une force d'attraction.

Il existe d'autres champs de forces en ; par exemple la force d'interaction entre charges électriques dite force de Coulomb: une charge électrique q en M exerce sur une autre charge q'en M'une force : .

La seule différence formelle avec la loi de Newton est que les charges électriques pouvant être positives ou négatives, la force de Coulomb est attractive ou répulsive. Mais les intensités de ces forces sont très différentes : la force coulombienne est plus intense que la force de gravitation .



Faire l'exercice :

Rapport de forces fondamentales

 

  G.1.2. Champ d'une masse ponctuelle

Reprenons les deux masses m et m' précédentes ; m exerce sur m' une force:

Ecrivons cette force sous la forme:

Nous disons que est le champ de gravitation créé par m au point M' ; m est la source du champ (ici ponctuelle), m' est une masse test dite masse d'épreuve qui permet de détecter le champ en M' par la force qu'il exerce sur m'. Une source ponctuelle de champ crée dans l'espace qui l'entoure à une distance r, un champ de gravitation :

 

La norme du champ de gravitation a la dimension d'une accélération, on dit aussi que c'est un champ d'accélération.


  G.1.3. Champ d'une distribution de masse

Considérons une masse m1 en M1 et une masse m' en M' telles que , la force de gravitation exercée par m1 sur m' est :

De même la force exercée par une masse m2 en M2 sur m' est:

Si nous envisageons les trois masses m1, m2 et m' simultanément en présence, la force exercée par m1 et m2 sur m' est la somme vectorielle des deux précédentes

Cette affirmation tient compte du principe d'additivité des forces mais suppose également que la présence de m2 ne modifie pas la force exercée par m1 sur m' ; cette deuxième hypothèse constitue le principe de superposition.

Il résulte de ces deux principes que le champ créé en M par une distribution discrète de masses ponctuelles m placées en M est donné par la relation suivante:

Dans le cas d'une distribution volumique continue, il faut faire la somme en M des champs élémentaires créés par chaque élément de volume dv contenant la masse dm =r dv (r étant la masse volumique qui dépend en général de la position de dm) :

   et      

l'intégrale étant étendue au volume occupé par la masse répartie.

On admettra le résultat suivant:

Si la répartition des masses a la symétrie sphérique, le champ créé à l'extérieur de cette répartition est identique à celui d'une masse ponctuelle placée au centre de la sphère où serait concentrée la masse totale.