Systèmes oscillants
Oscillateur harmonique forcé, oscillations forcées

 

L'objet de cette ressource est l'étude des systèmes physiques, de type mécanique, électrique ou microscopique, soumis à des excitations de formes diverses, se comportant comme des oscillateurs forcés. L'excitation harmonique et le modèle de l'oscillateur harmonique forcé sont principalement étudiés.

Prérequis indispensables  :

Objectifs  :

Temps de travail prévu  :  160 minutes

Sommaire :

Rappel préliminaire
L'oscillateur harmonique forcé
    Présentation
Exemples
    Oscillateur mécanique : système amorti [masse, ressort] horizontal soumis à une excitation sinusoïdale
    Oscillateur électrique : circuit série (R, L, C)
Oscillations forcées
    Résolution de l'équation différentielle
    Régime transitoire forcé et régime permanent
Etude de l'oscillateur mécanique en régime permanent soumis à une excitation en force harmonique
    Rappel
    Etude du régime permanent
        Méthode de représentation complexe
        Méthode algébrique
Réponses d'oscillateurs mécaniques forcés
    Cas d'une excitation en force constante (excitation en échelon ou indicielle)
    Cas d'une excitation en force harmonique
    Autres exemples de réponses à des excitations en force harmonique
Résonance d'amplitude, oscillateur mécanique
    Amplitude, déphasage et pulsation de l'excitation
    Etude de l'amplitude des oscillations forcées en régime permanent en fonction de la pulsation de l'excitation
    Etude de la phase des oscillations forcées en régime permanent en fonction de la pulsation de l'excitation
    Bande passante, acuité de résonance
Etude du circuit électrique (R, L, C) série en régime permanent sinusoïdal
    Intensité, d.d.p. aux bornes du condensateur, résonance en tension
Analogie oscillateurs mécanique et électrique. Types de résonance
    Oscillateurs analogues
    Types de résonances


Rappel préliminaire

La variable caractéristique du système physique étudié est notée d'une façon générale q lorsque le type du système (mécanique, électrique...) n'est pas précisé.

Suivant le type de système, q représente la position d'un point matériel, une intensité ou une tension électrique, la charge portée par un condensateur, un moment dipolaire, une densité moyenne d'électrons dans un plasma...

Lorsque le type du système est défini, la notation correspondante de q est utilisée.

La fonction décrit l'évolution du système au cours du temps.

Les dérivations première et seconde par rapport au temps sont notées respectivement :

  et .

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L'oscillateur harmonique forcé

 

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L'oscillateur harmonique forcé
Présentation

Le système physique de type « oscillateur harmonique amorti » (dont l'étude, objet d'une autre ressource, est considérée comme acquise) est soumis à une excitation permanente, décrite par la fonction et produite par un dispositif extérieur appelé excitateur.

L'excitateur fournit à tout instant de l'énergie au système.

Dans ce cas la grandeur décrivant l'évolution du système au cours du temps satisfait à l'équation différentielle avec second membre :

Le système est appelé oscillateur forcé. La solution de l'équation (ou réponse de l'oscillateur) décrit les oscillations forcées du système. L'oscillateur évolue suivant un régime transitoire forcé du second ordre puis suivant un régime permanent.

Si , l'oscillateur est dit sans amortissement.

Rappelons que la pulsation propre et le coefficient d'amortissement s'expriment en , q et h s'expriment en unité SI des grandeurs physiques représentées.

L'équation ci-dessus est une équation différentielle du second ordre, à coefficients constants, avec un second membre noté .

Le second membre diffère de l'excitation . s'exprime simplement en fonction de (multiplication par une constante, déphasage), des exemples sont étudiés par la suite, son expression dépend :

Les principales excitations sont représentées dans la figure ci-dessous :

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Exemples

 

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Exemples
Oscillateur mécanique : système amorti [masse, ressort] horizontal soumis à une excitation sinusoïdale

Considérons le système amorti [masse, ressort] horizontal soumis à une excitation sinusoïdale.

Nous distinguons deux types d'excitation : excitation en force et excitation en déplacement.

   Excitation en force :

Le système est soumis à la force d'excitation appliquée directement à la masse m. Dans le cas d'une force excitatrice sinusoïdale, d'amplitude et de pulsation , celle-ci s'écrit :   .

Appliquons le Principe Fondamental de la Dynamique à la masse m :

En projetant l'équation vectorielle sur la direction et en utilisant les notations habituelles (k, , position d'équilibre O et ), on obtient l'équation différentielle décrivant les oscillations de m :

On rappelle que et Le second membre s'écrit ici .

L'équation différentielle ci-dessus est du type oscillateur harmonique forcé amorti de coefficient d'amortissement et de pulsation propre .

   Excitation en déplacement :

Le système est soumis à un déplacement appliqué à l'extrémité du ressort, de telle sorte que l'ensemble du système se déplace suivant un mouvement de translation rectiligne de direction .

Dans le cas d'une excitation sinusoïdale, le déplacement d'amplitude et de pulsation s'écrit :   .

Le référentiel lié au système n'est pas galiléen, l'écriture du P.F.D. fait intervenir une force d'inertie d'entraînement appliquée à m, force jouant le rôle d'une force d'excitation.

On montre dans ce cas que l'équation différentielle relative aux oscillations de m s'écrit :

, O étant la position d'équilibre repérée par rapport au système lui-même.

On remarque que l'équation différentielle ci-dessus est du type oscillateur harmonique forcé amorti.

Exemples de systèmes soumis à une excitation en déplacement :

Dans ces deux exemples le déplacement est vertical et la variable utilisée est .

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Exemples
Oscillateur électrique : circuit série (R, L, C)

Considérons le circuit série (R, L, C) alimenté par un générateur de tension de f.é.m. , représente l'excitation appliquée au circuit série.

A partir de l'écriture de la loi d'ohm :

Nous obtenons :

Sachant que et , les trois équations différentielles ci-dessus sont du type oscillateur harmonique forcé et amorti, de coefficient d'amortissement et de pulsation propre .

On remarque que le second membre de chacune des équations ci-dessus, , est différent de l'excitation .

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Oscillations forcées

 

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Oscillations forcées
Résolution de l'équation différentielle

L'équation différentielle s'écrit :

On montre mathématiquement que la solution générale de l'équation différentielle ci-dessus, avec second membre, est égale à la somme de la solution générale de l'équation sans second membre (ESSM), notée , et d'une solution particulière de l'équation avec second membre (EASM), notée . Soit :

    est la solution générale de l'équation étudiée dans le cadre d'un oscillateur harmonique amorti (cf. la ressource correspondante). Nous rappelons ci-dessous les trois formes de en fonction du discriminant réduit suivant les différents régimes :

régime apériodique

régime critique

régime pseudo-périodique

Rappelons aussi l'expression de la pseudo-pulsation :   .

   Recherche de  :

Elle est déterminée par un calcul algébrique, sachant que la forme de la solution particulière est analogue à la forme du second membre.

Dans l'étude des systèmes oscillants, les cas les plus usuels correspondent aux deux excitations suivantes :

Dans ce dernier cas, cette solution est déterminée en utilisant la méthode de la représentation complexe des grandeurs réelles sinusoïdales fonction du temps.

Indiquons que cette solution peut être déterminée également par une autre méthode correspondant à un calcul algébrique.

Les termes et inconnus sont ainsi déterminés en fonction des caractéristiques du système et de l'excitation.

  Rappel : représentation complexe d'une grandeur réelle sinusoïdale fonction du temps 

Remarque :

La solution générale dépend de deux constantes , ou  : elles sont calculées en appliquant les deux conditions initiales du problème à , c'est-à-dire à la somme et non pas à la seule fonction .

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Oscillations forcées
Régime transitoire forcé et régime permanent

   Régime transitoire forcé :

La réponse de l'oscillateur est décrite par la fonction : .

Cette fonction décrit les oscillations à partir de , l'oscillateur évolue en régime transitoire forcé, la fonction n'est pas une fonction simple.

   Régime permanent :

Lorsque le temps augmente, la fonction tend vers zéro, en effet le terme d'amortissement lorsque . Il en résulte que , l'oscillateur évolue en régime permanent.

Autrement dit :

L'oscillateur évolue en régime transitoire forcé tant que la fonction n'est pas négligeable par rapport à la fonction .

L'évolution de l'oscillateur tend d'une manière plus ou moins complexe et plus ou moins rapide vers l'établissement du régime permanent.

Remarque :

Le régime transitoire est ici forcé, attention à ne pas le confondre avec le régime transitoire libre étudié dans la ressource sur l'oscillateur harmonique amorti.

Le régime permanent est évidemment un régime forcé et il n'a de sens que dans le cas d'un tel régime.

Bien souvent, les caractéristiques de l'oscillateur étant, connues, l'étude des oscillations n'est faite qu'en régime permanent. Dans ce cas :

  et par convention on écrit

Cette étude est développée dans les pages suivantes dans les cas d'un oscillateur mécanique, puis électrique.

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Etude de l'oscillateur mécanique en régime permanent soumis à une excitation en force harmonique

 

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Etude de l'oscillateur mécanique en régime permanent soumis à une excitation en force harmonique
Rappel

RAPPELONS QUE :

Le schéma du système mécanique étudié est celui présenté précédemment :

L'excitation est décrite par la force : .

Dans ce système, la position instantanée de la masse (le point O repérant la position d'équilibre) correspond à la variable dynamique . Elle satisfait à l'équation différentielle :

  et

La solution générale de l'équation ci-dessus s'écrit : est la solution générale de l'ESSM et est une solution particulière de l'EASM.

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Etude de l'oscillateur mécanique en régime permanent soumis à une excitation en force harmonique
Etude du régime permanent

La réponse du système étudiée à partir d'un instant t suffisamment grand (régime permanent), est telle que :

En confondant les deux fonctions et , on écrit :

Les termes inconnus sont et . représente l'amplitude des oscillations en régime permanent et le déphasage de ces oscillations par rapport à l'excitation. Ils sont déterminés en utilisant soit la méthode de la représentation complexe, soit la méthode algébrique, méthodes exposées dans les deux pages suivantes.

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Etude de l'oscillateur mécanique en régime permanent soumis à une excitation en force harmonique
Etude du régime permanent
Méthode de représentation complexe

Ecrivons les correspondances :

grandeur réelle instantanée

grandeur complexe instantanée

amplitude complexe

Il vient :

Déterminons la représentation en amplitude complexe de l'équation différentielle

Pour cela, remplaçons dans cette équation les grandeurs réelles instantanées par les amplitudes complexes correspondantes :

En regroupant les termes et en factorisant dans le membre de gauche le terme , nous obtenons l'équation complexe recherchée :

Nous en déduisons l'amplitude complexe :

(avec )

Finalement, l'équation (3), équation entre nombres complexes du type , est équivalente aux deux égalités suivantes :

  ou

Les termes et sont ainsi calculés en fonction des données du système , , m, et , la réponse de l'oscillateur en régime permanent est déterminée.

Remarque : autre méthode de calcul

On écrit la représentation complexe instantanée de l'équation différentielle (1). Les grandeurs réelles instantanées sont remplacées dans ce cas par les grandeurs complexes instantanées correspondantes. L'équation complexe obtenue est :

Cette équation est vérifiée à tout instant t, en simplifiant les deux membres par le terme temporel , on retrouve l'équation (2) et par suite l'équation (3) du calcul précédent.

Les deux méthodes conduisent aux mêmes résultats, la représentation en amplitude complexe est plus directe. Il est conseillé d'utiliser cette représentation.

   Cas où

L'équation différentielle (1) s'écrit :   .

La solution cherchée est :   .

La représentation en amplitude complexe du second membre s'écrit :   ,

et par suite la représentation de l'équation différentielle conduit au résultat :

d'où : , l'expression de est inchangée.

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Etude de l'oscillateur mécanique en régime permanent soumis à une excitation en force harmonique
Etude du régime permanent
Méthode algébrique

L'équation différentielle admet pour solution en régime permanent .

Calculons et .

En reportant ces expressions et en regroupant les termes en cosinus dans l'équation (1), celle-ci s'écrit :

Cette équation est valable quelque soit la valeur de t et donc quelque soit la valeur de , écrivons qu'elle est vérifiée pour les deux valeurs particulières et . Nous obtenons respectivement les équations :

       

       

soit : .

Le déphasage est déterminée à partir de l'équation (4) :

L'amplitude est déterminée à partir des équations (3) et (4). Pour cela il faut calculer les expressions de et de à partir de ces équations, puis utiliser la relation classique . Le calcul conduit à l'expression:

Les termes et sont ainsi calculés en fonction des données du système et  . On retrouve les résultats obtenus par la méthode de la représentation en amplitude complexe, la réponse de l'oscillateur en régime permanent est déterminée.

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Réponses d'oscillateurs mécaniques forcés

 

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Réponses d'oscillateurs mécaniques forcés
Cas d'une excitation en force constante (excitation en échelon ou indicielle)

L'excitation est décrite par la force constante (où est une constante).

La réponse de l'oscillateur satisfait à l'équation différentielle :

      et     

Supposons que les valeurs de et de de l'oscillateur soient telles que le discriminant réduit soit négatif, dans ce cas la solution générale de l'équation sans second membre s'écrit :

La solution particulière, évidente, s'écrit :   .

Cet exemple est traité dans la ressource d'exercices sur les oscillations forcées.

L'ensemble des valeurs numériques étant donné, la réponse de l'oscillateur ainsi que les fonctions et sont représentées dans la figure ci-dessous :

On constate que la réponse en régime permanent est constante. Il n'y a des oscillations que pendant le régime transitoire forcé.

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Réponses d'oscillateurs mécaniques forcés
Cas d'une excitation en force harmonique

Cet exemple est traité dans la ressource d'exercices sur les oscillations forcées.

L'excitation est décrite par la force .

La réponse de l'oscillateur satisfait à l'équation différentielle :

      et     

L'ensemble des valeurs numériques étant donné, l'excitation et la réponse en régime permanent sont représentées dans la figure ci-dessous :

La réponse en régime permanent est harmonique (ou sinusoïdale).

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Réponses d'oscillateurs mécaniques forcés
Autres exemples de réponses à des excitations en force harmonique

Les réponses sont tracées ci-dessous pour deux oscillateurs ayant des paramètres et différents, correspondants respectivement à des discriminants réduits et , la pulsation de l'excitation () et les conditions initiales () étant les mêmes.

   Commentaires dans le cas de l'excitation harmonique :

La réponse de l'oscillateur forcé amorti est alors équivalente à celle d'un oscillateur harmonique de pulsation propre égale à la pulsation de l'excitation soit .

L'excitateur fournit à l'oscillateur, à chaque période, une quantité d'énergie qui compense exactement l'énergie dissipée par celui-ci.

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Résonance d'amplitude, oscillateur mécanique

 

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Résonance d'amplitude, oscillateur mécanique
Amplitude, déphasage et pulsation de l'excitation

La réponse de l'oscillateur mécanique soumis à l'excitation harmonique s'écrit en régime permanent .

L'amplitude et le déphasage des oscillations par rapport à l'excitation, s'expriment respectivement par les relations établies précédemment :

      et     

Ces deux relations montrent que l'amplitude et le déphasage sont des fonctions de la pulsation de l'excitation.

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Résonance d'amplitude, oscillateur mécanique
Etude de l'amplitude des oscillations forcées en régime permanent en fonction de la pulsation de l'excitation

Expérimentalement lorsque la pulsation de l'excitation varie de la valeur zéro à des valeurs élevées, on constate que, sous certaines conditions, l'amplitude des oscillations présente un maximum.

   Etude de la fonction  :

Cette fonction est positive, elle est définit dans l'intervalle et tend vers 0 par valeur positive lorsque .

Elle présente un extrémum pour les valeurs de satisfaisant à l'équation , où est la quantité sous le radical.

Calculons cette dérivée, il vient :

La fonction présente donc des extréma pour et pour soit pour . Remarquons que cette valeur, appelée pulsation de résonance et notée , est définie si , soit si .

L'étude complète de la fonction montre qu'il existe :

   Représentation de la fonction

La figure ci-dessous représente les graphes des fonctions correspondant à des oscillateurs différents, de même pulsation propre mais de coefficient d'amortissement décroissant de 5 à .

On vérifie que les graphes présentent un pic de résonance pour les valeurs et , valeurs satisfaisant à la condition . A fixé, le pic de résonance est d'autant plus marqué que la valeur de est petite et on remarque que la valeur de augmente lorsque la valeur de diminue.

Le calcul des amplitudes pour et conduit aux résultats :

Facteur de résonance R :

Il est défini par le rapport des amplitudes à la résonance et à la pulsation nulle, soit :

Exprimé en fonction du facteur de qualité , R s'écrit : .

Le phénomène de résonance est d'autant plus marqué que le facteur de qualité Q est plus grand.

   Cas de l'amortissement très faible :

Dans ce cas , et par suite :

 ,   ,   on en déduit , soit finalement : .

Lorsque l'amortissement est très faible, la pulsation de résonance et le facteur de résonance sont très peu différents respectivement de la pulsation propre et du facteur de qualité de l'oscillateur.

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Résonance d'amplitude, oscillateur mécanique
Etude de la phase des oscillations forcées en régime permanent en fonction de la pulsation de l'excitation

Rappelons que le terme représente le déphasage de la réponse de l'oscillateur par rapport à l'excitation.

La relation montre que l'oscillateur est toujours en retard de phase par rapport à l'excitation et ce retard augmente lorsque la pulsation de l'excitation augmente :

La figure ci-dessous représente les graphes des fonctions correspondant à des oscillateurs différents, de même pulsation propre mais de coefficient d'amortissement décroissant de 5 à .

Plus le coefficient d'amortissement est faible, plus la rotation de phase autour de est marquée, c'est-à-dire la valeur de varie rapidement de 0 à lorsque la valeur de la pulsation de l'excitation varie de à ( étant une quantité petite).

   Cas de l'amortissement très faible :

Dans ce cas et , l'oscillateur passe instantanément de l'accord à l'opposition de phase quand la pulsation franchit la valeur de la résonance.

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Résonance d'amplitude, oscillateur mécanique
Bande passante, acuité de résonance

Dans le cas d'une excitation sinusoïdale de pulsation variable et dans le cas où , on définit la bande passante en pulsation de l'oscillateur par l'intervalle :

où les pulsations et correspondent aux amplitudes et telles que :

      (figure ci-dessous)

L'acuité de la résonance est défini, par :   .

Ces quantités sont définies également en fréquence respectivement par et .

   Cas de l'amortissement très faible :

Par définition les valeurs des pulsations, et définissant la bande passante, vérifient l'équation :

La courbe de résonance en amplitude présente, dans le cas de l'amortissement très faible, un pic très marqué. Les valeurs de et de étant très proches de celles de , on pose :

      ( étant un terme petit, positif ou négatif)

En remplaçant par l'expression de sa définition il vient :   .

Reportons cette valeur dans l'équation (1) précédente. On obtient la nouvelle équation :

On en déduit : (amortissement très faible, )

Et également : (amortissement faible, ),

D'autre part : , étant petit.

Introduisons la dernière expression de , il vient : , et par suite :      et   .

La bande passante, dans le cas de l'amortissement très faible, s'écrit :

On constate que plus le facteur de qualité Q de l'oscillateur est grand plus la bande passante est étroite.

Rappelons que plus Q est grand, plus l'amplitude des oscillations à la résonance est grande.

Enfin, l'acuité de la résonance d'un oscillateur très faiblement amorti est égale au facteur de qualité :

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Etude du circuit électrique (R, L, C) série en régime permanent sinusoïdal

 

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Etude du circuit électrique (R, L, C) série en régime permanent sinusoïdal
Intensité, d.d.p. aux bornes du condensateur, résonance en tension

Le circuit série (R, L, C), soumis à l'excitation , est décrit dans l'exemple précédent.

Rappelons les équations en intensité et en tension établies :

La résolution de ces deux équations différentielles en régime permanent sinusoïdal se fait en utilisant la méthode de la représentation complexe développée dans le cas de l'oscillateur mécanique.

L'étude de la résonance d'amplitude correspond à l'étude de la d.d.p., , aux bornes du condensateur en fonction de la pulsation d'excitation .

Ces calculs sont effectués dans les exercices de la ressource sur les oscillations forcées où sont étudiés :

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Analogie oscillateurs mécanique et électrique. Types de résonance

 

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Analogie oscillateurs mécanique et électrique. Types de résonance
Oscillateurs analogues

Rappelons les équations :

Les correspondances suivantes se déduisent de la comparaison de ces équations :

Pour les pulsations propres :   .

Pour les coefficients d'amortissement :   .

On définit ainsi l'oscillateur analogue à un oscillateur donné, c'est-à-dire que à un oscillateur mécanique on fait correspondre un oscillateur électrique et réciproquement.

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Analogie oscillateurs mécanique et électrique. Types de résonance
Types de résonances

Les systèmes évoluent en régime permanent harmonique. La condition étant satisfaite, il existe deux types de résonances, les résonances en amplitude et les résonances de vitesse ou en intensité.

   Les résonances en amplitude ont été étudiées précédemment dans le cas des oscillateurs mécanique et électrique. Les résultats principaux sont résumés ci-dessous :

   On montre qu'il existe un autre type de résonance, appelée résonance de vitesse pour un oscillateur mécanique et résonance en intensité pour un oscillateur électrique.

Les caractéristiques de ce type de résonance sont données ci-dessous sans démonstration :

Dans le cas de l'oscillateur mécanique, indiquons l'équation satisfaite par la vitesse  :

Dérivons par rapport à t l'équation   .

Nous obtenons l'équation en vitesse   .

A partir de cette équation, on établit les caractéristiques de la résonance de vitesse.

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